观察区
- β < 1 时，初始点是椭圆远地点；速度过低会让近地点进入天体内部，卫星最终坠落。
- β = 1 时，引力恰好提供圆周运动所需的向心力，轨道为圆。
- 1 < β < √2 时仍是椭圆，但初始点变为近地点。
- β = √2 时比机械能恰好为零；再快一点就成为双曲线逃逸轨道。
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gravity · orbit
gravitation · orbital mechanics
一直下落，
为什么没有落地？
卫星始终受到指向中心天体的万有引力。横向速度足够大时，地表弯曲得和卫星下落得一样快，于是自由落体变成了轨道。
初速度始终沿切线方向。比较 v₀ 与圆轨道速度 vᶜ、逃逸速度 vₑ：速度不同，轨道的形状与是否返回完全不同。
轨道观测 / orbital view
轨迹由万有引力方程数值积分，分类由能量与偏心率解析计算
t = 0 s圆轨道持续绕行
理论轨迹已走轨迹瞬时速度 v万有引力 F
圆轨道速度 vᶜ
7.55km/s
逃逸速度 vₑ
10.67km/s
当前速度 v
7.55km/s
当前高度
629km
万有引力 F
8.13kN
比机械能 ε
−28.47 MJ/kg
轨道偏心率 e
0.000
半长轴与周期
7000 km · 97.1 min
切换相关实验
圆周运动解释瞬时向心加速度；机械能守恒则帮助理解轨道动能和引力势能的交换。
典型题 · 先算再验证
卫星质量 m = 1000 kg，在地球表面上方 h = 629 km 处沿切线发射。取 M = 1.00 M⊕，此时轨道半径约为 7000 km。(1) 求圆轨道速度；(2) 求该位置的逃逸速度；(3) 分别判断 v₀ = vᶜ 与 v₀ = √2vᶜ 的轨道状态。
查看解答
- 地球标准引力参数 GM ≈ 3.986 × 10¹⁴ m³/s²，r = (6371 + 629) km = 7.000 × 10⁶ m。
- vᶜ = √(GM/r) ≈ 7.546 km/s。此速度下引力恰好提供圆周运动所需的向心力。
- vₑ = √(2GM/r) = √2vᶜ ≈ 10.672 km/s。
- v₀ = vᶜ 时为圆轨道，比机械能 ε = −GM/(2r) < 0。
- v₀ = √2vᶜ 时 ε = 0，是抛物线逃逸临界；理想模型中到无穷远时速度趋近于零。
答：vᶜ ≈ 7.546 km/s，vₑ ≈ 10.672 km/s；前者形成圆轨道，后者恰好达到逃逸临界。
三分钟讲解脚本
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0:00–0:30先用圆轨道预设。卫星不是没有重力，而是每一刻都在向中心天体自由落体；橙色速度与红色引力不断改变相对方向，轨迹因此弯成圆。
0:30–1:00指出 vᶜ = √(GM/r)：中心天体越重，圆轨道速度越大；距离越远，所需速度越小。卫星质量不在公式中，所以轻重卫星在同一初始条件下轨道相同。
1:00–1:30选择坠落预设。速度不足时轨道近地点进入天体内部，数学上的椭圆还没走完就与地表相交。强调这不是竖直掉落，而是带横向速度的弯曲坠落。
1:30–2:00选择椭圆预设。卫星远离中心时速度降低、靠近时速度升高，动能与引力势能相互转化；总机械能为负，所以它仍被束缚并会返回。
2:00–2:30选择逃逸临界。此时 vₑ = √2vᶜ，比机械能恰好为零，轨迹不再闭合。把 β 略微调高，能量变为正，卫星到无穷远仍保留速度。
2:30–3:00收束轨道分类：ε < 0 是圆或椭圆，ε = 0 是抛物线临界，ε > 0 是双曲线逃逸。决定轨道的不只是引力大小，还包括发射位置和初速度。