mechanics · simple pendulum

摆长与重力，
决定节拍。

把摆球拉开一个小角度由静止释放，它就在竖直位置两侧来回摆动。本实验用解析解 θ(t) = θ₀·cos(ωt) 直接给出每一时刻的摆角，让你亲手验证：周期 T = 2π√(L/g) 只由摆长和重力加速度决定，与摆角、质量都无关。

本实验采用小角度简谐近似：仅当摆角很小（本实验限制 θ₀ ≤ 15°）时 sinθ ≈ θ，单摆才近似做简谐运动，T = 2π√(L/g) 才成立。角度更大时周期会随 θ₀ 增大、运动不再是简谐，因此不允许调出更大的摆角。

同步观测 / synchronized views

摆的位置与 θ-t 图像来自同一时刻的解析解，共用同一条时间轴。

t = 0.00 s右侧最高点附近 · 速度接近零T 只由 L、g 决定

摆的实际运动

角度从竖直方向量起 · 右为正

θ-t 图像

摆角随时间 · 与动画共用时间轴

θ-t 图线 / 摆动范围摆球摆角 θ 与竖直参考线摆线（不可伸长、不计质量）

周期 T

2.01s

频率 f

0.50Hz

角频率 ω

3.13rad/s

当前摆角 θ(t)

10.0° / v = 0.00 m/s

最大速度 v_max

0.55m/s

当前相位

右侧最高点附近

观察区

只调 θ₀：图线振幅变大变小，但波峰之间的间距（周期）一格不动——小角度内 T 与 θ₀ 无关。
只调 m：摆球变大变小，θ-t 图线完全不变——重力和惯性同步变化，周期与 m 无关。
把 L 从 0.75 m 调到 3 m（4 倍），周期恰好从 1.74 s 变到 3.48 s（2 倍）：T 与 √L 成正比。
把 g 从 9.8 调到 1.62（月球）：同一只摆的周期变为约 2.5 倍——月球上摆钟会走得很慢。
最高点摆角最大、速度为零；经过最低点时速度最大，v_max = θ₀(弧度)·√(gL)。

切换对照实验

弹簧振子周期由 m、k 决定，单摆由 L、g 决定，两者都与振幅无关。去弹簧实验里对比：同为简谐运动，是什么在提供回复力、又是什么在决定节拍。

打开弹簧与胡克定律 →

典型题 · 先算再验证

一根摆长 L = 2.5 m 的单摆，摆球质量 m = 1 kg，取 g = 10 m/s²，把摆球拉开 θ₀ = 10° 后由静止释放。(1) 求振动的周期 T 和频率 f；(2) 求摆球经过最低点时的最大速度 v_max；(3) 把这只摆带到月球表面（g = 1.6 m/s²），周期变为多少？若只把摆球换成 2 kg、θ₀ 改为 5°，周期又如何变化？

查看解答

T = 2π√(L/g) = 2π√(2.5/10) = 2π × 0.5 = π ≈ 3.14 s；f = 1/T ≈ 0.32 Hz。
先把摆角换成弧度：θ₀ = 10° = 10π/180 ≈ 0.175 rad。最大速度 v_max = θ₀·√(gL) = 0.175 × √(10 × 2.5) = 0.175 × 5 ≈ 0.87 m/s。
月球上 T′ = 2π√(2.5/1.6) = 2π × 1.25 ≈ 7.85 s，是地球上的 2.5 倍——g 变小，摆得更慢。
换成 2 kg 摆球、θ₀ 改为 5°：周期完全不变，仍为 π ≈ 3.14 s。小角度内 T 只由 L 和 g 决定，与 m、θ₀ 都无关。
打开实验可看到：周期显示 3.14 s，v_max 显示 0.87 m/s；再拖动 m 和 θ₀ 滑块，周期数值纹丝不动。

答：T ≈ 3.14 s，f ≈ 0.32 Hz；v_max ≈ 0.87 m/s；月球上 T′ ≈ 7.85 s；改变 m 和 θ₀ 后周期不变。

用这组参数打开实验，验证答案 →

三分钟讲解脚本

面向初高中学生的课堂或录屏讲解提纲。

展开讲解脚本

0:00–0:30先看默认动画：摆球在竖直虚线两侧来回摆动，下方 θ-t 图像画出一条余弦曲线。指出黄色弧线就是摆角 θ，它从 +10° 到 −10° 循环往复。

0:30–1:00把 θ₀ 从 10° 拖到 15° 再拖回 2°：图线的"高矮"在变，但波峰间距不变，周期数值一格不动——小角度内周期与摆角无关，这叫单摆的等时性。

1:00–1:30再拖质量 m 从 0.1 kg 到 2 kg：摆球明显变大，可 θ-t 曲线和周期完全没变。原因：重力和惯性都随 m 同比例变化，恰好抵消——T 与 m 无关。

1:30–2:00把 L 从 0.75 m 调到 3 m，正好 4 倍：周期从 1.74 s 变到 3.48 s，恰好 2 倍。归纳 T = 2π√(L/g)：摆长变 4 倍，周期变 2 倍——想让摆钟走慢点，就把摆做长点。

2:00–2:30把 g 从 9.8 拖到 1.62（月球）：同一只摆立刻变得慢吞吞，周期变为约 2.5 倍。反过来，只要测出 T 和 L，就能算出当地的 g——这正是用单摆测重力加速度的实验原理。

2:30–3:00收尾提醒近似条件：这一切都建立在小角度（sinθ ≈ θ）之上，所以滑块最大只到 15°；角度再大，周期会随摆角变大，等时性被破坏——伽利略盯着教堂吊灯发现的，正是小角度下的等时性。