与平抛运动对比
平抛初始竖直速度为 0，物体从抛出后立即下降。
斜抛竖直初速度大于 0 时，初始阶段先上升再下降。
特殊情形当 θ = 0°，斜抛的公式和结果都退化为平抛。
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oblique projectile
mechanics · projectile motion
斜抛运动，
先升后落。
把初速度分解到水平和竖直方向，观察抛射角如何改变上升过程、最高点和落点。
斜抛与平抛遵循同一组运动方程。把角度调到 0°，初始竖直速度变为 0，斜抛就退化为平抛。
轨迹观测 / trajectory
完整轨迹按当前参数自适应，橙色箭头表示瞬时速度方向
完整轨迹瞬时速度关键位置t = 0.00 s
水平初速度 v₀x
14.14m/s
竖直初速度 v₀y
14.14m/s
飞行时间
4.80s
水平射程
67.88m
最大高度（相对地面）
55.20m
落地速度
35.81m/s
当前位置 (x, y)
(0.00, 45.00)m
当前速度 / 方向
20.00 m/s · 向上 45.0°
切换对照实验
保持相同的初速度、初始高度和重力加速度，再到平抛页面比较飞行时间、射程与落地速度。
典型题 · 先算再验证
从高 h = 20 m 的平台边缘，以初速度 v₀ = 30 m/s、仰角 θ = 30° 斜向上抛出一个小球，取 g = 10 m/s²，忽略空气阻力。求：小球的飞行时间、离地面的最大高度和水平射程。
查看解答
- 分解初速度：v₀x = v₀cosθ = 30 × (√3/2) = 15√3 ≈ 25.98 m/s；v₀y = v₀sinθ = 30 × 0.5 = 15 m/s。
- 求飞行时间：落地时 y = 0，即 20 + 15t − 5t² = 0，整理为 t² − 3t − 4 = 0，解得 t = 4 s 或 t = −1 s。时间必须为正，取 t = 4 s。
- 求最大高度：最高点处 vᵧ = 0，上升高度 v₀y²/(2g) = 225/20 = 11.25 m，故最大高度 H = h + 11.25 = 31.25 m。
- 求水平射程：X = v₀x · t = 15√3 × 4 = 60√3 ≈ 103.92 m。
答：飞行时间 t = 4 s；最大高度 H = 31.25 m；水平射程 X = 60√3 ≈ 103.92 m。
三分钟讲解脚本
面向初高中学生的课堂或录屏讲解提纲。
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0:00–0:30先看现象：按默认参数播放一次，请学生观察小球先上升、过最高点、再下落，速度箭头方向一路在变，但始终沿轨迹切线。
0:30–1:00调参对比：把抛射角 θ 从 45° 慢慢调到 0°，轨迹逐渐"压平"。θ = 0° 时初始竖直速度为 0，斜抛完全退化为平抛——两者本是同一组方程。
1:00–1:30归纳规律：固定 v₀ 和 h，只改 θ，观察"竖直初速度 v₀y"和"飞行时间"两个数值同增同减；再只改 v₀，确认射程随之变大。水平方向匀速、竖直方向匀变速，两个方向互不干扰。
1:30–2:00对应公式：x = v₀cosθ·t 描述水平匀速，y = h + v₀sinθ·t − ½gt² 描述竖直上抛加下落。让学生把角度换成弧度前后各算一次 v₀y，体会"度只是输入习惯，计算要用弧度或三角函数值"。
2:00–2:30做典型题：用左边的题目现场算飞行时间。强调解 y = 0 的一元二次方程会得到两个根，t = −1 s 对应"抛出前"，没有物理意义，必须取正根 t = 4 s。
2:30–3:00常见误区收尾：一是忘记分解速度、直接拿 v₀ 乘时间算射程；二是把最大高度只算成 v₀²sin²θ/(2g) 而漏掉初始高度 h。点"用这组参数打开实验"核对三个答案，误差应在小数点后两位内。